Question

已知y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R
（1）当y取最大值时，求x的集合
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函数的值域
（3）该函数的图象可由y=sinx经过怎样的平移变化和伸缩变化得到？

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据题意利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，由此利用正弦函数的值域求得函数的最大值．
（2）由x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．
（3）根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答： 解：（1）y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1=

1

4

cos2x+

3

4

sin2x+

5

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，
故函数y的最大值为

1

2

+

5

4

=

7

4

，此时x的集合为{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．
（2）若x∈[0，

π

2

]，则 2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[1，

7

4

]．
（3）把y=sinx的图象向左平移

π

6

个单位，可得函数y=sin（x+

π

6

）的图象；
再把所得图象上点的横坐标变为原来的

1

2

倍，纵坐标不变，可得函数y=sin（2x+

π

6

）的图象；
再把所得图象上点的纵坐标变为原来的

1

2

倍，横坐标不变，可得函数y=

1

2

sin（2x+

π

6

）的图象，
再把所得图象向上平移

5

4

个单位，可得函数y=sin（2x+

π

6

）的图象．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．