Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-x+

1

3

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知g(x)=-

a+1

2

x2+(a+1)x(a＞0)，若F（x）=f（x）+g（x）在[0，2]上有最大值1，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数f（x）的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求出函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数F（x）的导数，根据函数的最值和导数之间的关系，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

3

x3-x+

1

3

，
∴f′（x）=x²-1，
由f′（x）=x²-1＞0，解得x＞1或x＜-1，
由f′（x）=x²-1＜0，解得-1＜x＜1，
即函数f（x）的单调增区间为（1，+∞），（-∞，-1），单调递减区间为（-1，1）；
（Ⅱ）∵g(x)=-

a+1

2

x2+(a+1)x(a＞0)，
∴F（x）=f（x）+g（x）=

1

3

x3-x+

1

3

-

a+1

2

x2+(a+1)x=

1

3

x3-

a+1

2

•x2+ax+

1

3

，
则F′（x）=x²-1-（a+1）x+a+1=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），
若0＜a＜1，
由F′（x）＞0，解得x＞1或x＜a，此时函数单调递增，
由F′（x）＜0，解得a＜x＜1，此时函数单调递减，
∵F（x）在[0，2]上有最大值 1，F（2）=1，
∴F（a）≤1，即a³-3a²+4≥0，
令g（a）=a³-3a²+4，则g′（a）=3a²-6a=3a（a-2），
∴g′（a）＜0，
∴g（a）＞g（1）=0，即0＜a＜1；
当a=1时，F′（x）=x²-2x+1=（x-1）²≥0，F（x）≤F（2）=1成立；
当1＜a＜2时，令F′（x）＞0得0＜x＜1或a＜x＜2，
令F′（x）＜0得1＜x＜a，F（2）=1，
∵F（x）在[0，2]上有最大值 1，∴F（1）≤1，即

1

3

-

a+1

2

+a+

1

3

≤1，解得a≤

5

3

，
∴1＜a≤

5

3

，
当a≥2时，由F（x）的单调性知F（x）_max=F（1）＞F（2），故不成立；
综上，实数a的范围是0＜a≤

5

3

．

点评：本题主要考查函数的单调性，最值和导数之间的关系，考查学生的运算能力，综合性较强运算量较大．