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(08年金华一中理)  (15分) 动圆过定点且与直线相切,圆心的轨迹为曲线,过作曲线两条互相垂直的弦,设的中点分别为

(1)求曲线的方程;

(2)求证:直线必过定点;

(3)分别以为直径作圆,求两圆相交弦中点的轨迹方程。

解析:(1)设,则有,化简得…………3分

(2)设,代入

…………5分

因为,所以将点坐标中的换成,即得。………6分

 ,整理得 

故不论为何值,直线必过定点…………8分

(3)显然,都与抛物线相切,半径分别为,从而

两式相减并整理,得公共弦所在直线方程为

 

故公共弦所在直线过原点。所以 。于是点的轨迹方程是以为直径的圆(除取直径的两个端点),其轨迹方程为

      …………15分

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(2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率;

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