Question

2．已知函数f（x）=e^x+m-x³，g（x）=ln（x+1）+2．
（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值；
（2）若h（x）=g（x-1）-ax-2在（0，+∞）有两个零点，求a的取值范围；
（3）当m≥1时，证明：f（x）＞g（x）-x³．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得m；
（2）求出函数h（x）的表达式，将函数有两个零点转化为方程有两个根，构造函数转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．
（3）f（x）＞g（x）-x³即为e^x+m＞ln（x+1）+2．由函数y=e^x-x-1，求得最小值，可得e^x≥x+1，则e^x+m＞x+m+1，再由h（x）=x+m+1-ln（x+1）-2=x+m-ln（x+1）-1，求出导数，求得最小值，由条件即可得证．

解答 （1）解：因为f（x）=e^x+m-x³，所以f′（x）=e^x+m-3x²．
因为曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，
所以f′（0）=e^m=1，
解得m=0．
（2）若h（x）=g（x-1）-ax-2=lnx+2-ax-2=lnx-ax在（0，+∞）有两个零点，
等价为lnx-ax=0在（0，+∞）有两个不同的根，
即a=$\frac{lnx}{x}$，设g（x）=$\frac{lnx}{x}$，则函数的导数g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，由g′（x）＞0得0＜x＜e，由g′（x）＜0，得x＞e，
即当x=e时，函数g（x）取得极大值g（e）=$\frac{1}{e}$，
又g（x）有且只有一个零点1，当x→0时，g（x）→-∞，
当x→+∞时，g（x）→0，
则要使a=$\frac{lnx}{x}$在[0，+∞）上有两个不同的根，则0＜a＜$\frac{1}{e}$．
（3）证明：f（x）＞g（x）-x³即为e^x+m＞ln（x+1）+2．
由y=e^x-x-1的导数为y′=e^x-1，
当x＞0时，y′＞0，函数递增；当x＜0时，y′＜0，函数递减．
即有x=0处取得极小值，也为最小值0．
即有e^x≥x+1，则e^x+m≥x+m+1，
由h（x）=x+m+1-ln（x+1）-2=x+m-ln（x+1）-1，
h′（x）=1-$\frac{1}{x+1}$，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）递增；
-1＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减．
即有x=0处取得最小值，且为m-1，
当m≥1时，即有h（x）≥m-1≥0，
即x+m+1≥ln（x+1）+2，
则有f（x）＞g（x）-x³成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造法，以及不等式的传递性，考查学生的运算能力，综合性较强，有一定的难度．