Question

10．已知函数f（x）=2xsin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$，有下列四个结论；
①函数y=f（x）由无数多个极值点；
②?x∈R，都有f（-x）=-f（x）成立；
③?M＞0，至少存在一个实数x₀，使得f（x₀）＞M；
④存在常数T≠0，对于?x∈R，恒有f（x+T）=f（x）成立，
其中正确结论的序号是①③（将所有正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析 ①先化简函数f（x），求函数的导数f′（x），得到f′（x）=0的根有无数个，
②函数为偶函数，
③判断函数f（x）存在大于0的实数，
④根据函数的周期性进行判断．

解答 解：f（x）=2xsin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=xsinx，则函数f（x）为偶函数，
函数的导数f′（x）=sinx+xcosx，
由f′（x）=0得sinx+xcosx=0，得sinx=-xcosx，当cosx=0时，sinx=±1，此时方程无解，
则cosx≠0，即tanx=-x，此时方程tanx=-x有无数多个解，则函数y=f（x）由无数多个极值点，故①正确，
∵f（x）=xsinx为偶函数，∴?x∈R，都有f（-x）=f（x）成立，故②错误，
当x＞0，且sinx＞0时，f（x）=xsinx＞0，则③?M＞0，至少存在一个实数x₀，使得f（x₀）＞M成立，故③正确，
函数f（x）不是周期函数，故?x∈R，恒有f（x+T）=f（x）不成立，故④错误，
故答案为：①③

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的奇偶性，极值，周期性以及取值，考查学生的推理能力．