Question

5．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+bx+c，x≥-1\\ f（-x-4），x＜-1\end{array}$，其图象上点（2，f（2））处的切线方程是y=2x-1，则图象上点（-6，f（-6））处的切线方程为2x+y+9=0．

Answer 1

分析 根据条件求出函数的导数，建立方程关系，然后根据分段函数的表达式分别求出f（-6）和f′（-6）的值进行求解即可．

解答 解：函数图象上点（2，f（2））处的切线方程是y=2x-1，
∴f（2）=4-1=3，且f′（2）=2，
当x≥-1时，f（x）=ax²+bx+c，
则f′（x）=2ax+b，
f′（2）=4a+b=2，
∵f（-6）=f（6-4）=f（2）=3，∴对应的点的坐标为（-6，3），
当x＜-5时，-x-4＞1，则f（x）=f（-x-4）=a（x+4）²-b（x+4）+c，
此时f′（x）=2a（x+4）-b，则f′（-6）=-4a-b=-（4a+b）=-2，
即函数在点（-6，f（-6））处的切线斜率k=-2，
则对应的切线方程为y-3=-2（x+6），
即2x+y+9=0，
故答案为：2x+y+9=0

点评 本题主要考查函数的切线的求解，根据分段函数的表达式建立方程关系求出f（-6）和f′（-6）的值是解决本题的关键．