Question

10．已知函数$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）+{sin^2}x$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调区间；
（2）设锐角△ABC的三个内角A、B、C的对应边分别是a，b，c，若$cosB=\frac{1}{3}$，$c=\sqrt{6}$，f（$\frac{C}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，求b．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$，利用周期公式可求最小正周期，由2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x＜2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得单调递增区间，由2kπ+$\frac{π}{2}$＜2x＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得单调递减区间．
（2）由f（$\frac{C}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$，解得sinC，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，由正弦定理可得b的值．

解答 解：（1）∵$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）+{sin^2}x$=cos2xcos$\frac{π}{3}$-sin2xsin$\frac{π}{3}$+$\frac{1-cos2x}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∵2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x＜2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得：kπ-$\frac{π}{4}$＜x＜kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴单调递增区间为：（kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$），k∈Z，
∵2kπ+$\frac{π}{2}$＜2x＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得：kπ+$\frac{π}{4}$＜x＜kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z，
∴单调递减区间为：（kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z，
（2）∵f（$\frac{C}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$，解得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$cosB=\frac{1}{3}$，可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{\sqrt{6}×\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，正弦函数的单调性，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．