Question

5．已知椭圆E的中心在坐标原点，且抛物线x²=-4$\sqrt{5}$y的焦点是椭圆E的一个焦点，以椭圆E的长轴的两个端点及短轴的一个端点为顶点的三角形的面积为6．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若斜率为$\frac{3}{2}$的直线l与椭圆E交于不同的两点A、B，又点C（$\frac{4}{3}$，2），求△ABC面积最大时对应的直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线方程求得焦点坐标，求得c，由三角形的面积公式可知$\frac{1}{2}×2a×b=6$，根据椭圆的性质，a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）求得直线方程，并将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得求得x₁+x₂及x₁•x₂，由弦长公式求得丨AB丨，根据点到直线的距离公式，求得d，根据三角形的面公式及基本不等式的性质即可求得m的值，求得直线方程．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆E$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由抛物线${x^2}=-4\sqrt{5}y$的焦点是椭圆E的一个焦点得：$c=\sqrt{5}$，
由椭圆的性质可知：a²=b²+c²，
∴5=a²-b²，$\frac{1}{2}×2a×b=6$，即ab=6，
∴a²b²=36，即（b²+5）b²=36，
（b²+9）（b²-4）=0，b²=4a²=9，
∴椭圆$E：\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{4}=1$…（4分）
（Ⅱ）设$l：y=\frac{3}{2}x+m$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
与$E：\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{4}=1$，联立得：9x²+6mx+2m²-18=0，
△=36m²-36（2m²-18）＞0，可知：m²＜18，
由韦达定理可知：${x_1}+{x_2}=-\frac{2}{3}m，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-18}}{9}$，…（6分），
$|{AB}|=\sqrt{（1+\frac{9}{4}）[\frac{{4{m^2}}}{9}-\frac{{8（{m^2}-9）}}{9}]}=\sqrt{\frac{13}{4}（-\frac{{4{m^2}}}{9}+\frac{72}{9}）}=\sqrt{\frac{13}{9}（-{m^2}+18）}$$C（\frac{4}{3}，2）$，
到$l：y=\frac{3}{2}x+m$的距离$d=\frac{{|{2-2+m}|}}{{\sqrt{\frac{9}{4}+1}}}=\frac{2|m|}{{\sqrt{13}}}$，
$S=\frac{1}{2}|{AB}|d=\frac{1}{3}\sqrt{（-{m^2}+18）{m^2}}=\frac{1}{3}\sqrt{-{m^4}+18{m^2}}$…（10分）
当m²=9即m=±3时，S最大，对应的直线l的方程为$y=\frac{3}{2}x±3$…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，三角形面积公式及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．