Question

1．如图，AB是⊙O的直径，BE为⊙O的切线，点C为⊙O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与⊙O交于D，与BE交于E，连接BD、CD．
（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；
（Ⅱ）求证：AH•BH=AE•HC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由弦切角定理及其同弧所对的圆周角的性质、角平分线的性质即可证明．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知BE=BH．可得AH•BH=AH•BE．利用相似三角形的判定定理可得：△AHC∽△AEB，再利用性质即可证明．

解答 证明：（Ⅰ）由弦切角定理知∠DBE=∠DAB．
又∠DBC=∠DAC，∠DAB=∠DAC，
∴∠DBE=∠DBC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知BE=BH．
∴AH•BH=AH•BE，
∵∠DAB=∠DAC，∠ACB=∠ABE，
∴△AHC∽△AEB，
∴$\frac{AH}{AE}=\frac{HC}{BE}$，即AH•BE=AE•HC，
∴AH•BH=AE•HC．

点评 本题考查了弦切角定理及其同弧所对的圆周角的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．