Question

16．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线?与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1交于M，N两点．
（I）写出直线?的方程和圆C的圆心坐标和半径，并k的取值范围；
（II）若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=12，其中O为坐标原点，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）利用点斜式方程得出l方程，根据圆的标准方程的意义得出圆心和半径，根据直线与圆相交得出不等式解出k的范围；
（2）联立方程组得出M，N的坐标的关系，代入数量积公式求出k，从而确定直线经过圆心，得出|MN|=2r．

解答 解：（1）依题意设，直线l的方程为y=kx+1．
圆C：（x-2）²+（y-3）²=1的圆心坐标为（2，3），半径r=1．
∵l与C交于两点，∴$\frac{{|{2k-3+1}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}＜1$．
∴3k²-8k+3＜0，解得$\frac{{4-\sqrt{7}}}{3}＜k＜\frac{{4+\sqrt{7}}}{3}$．
∴k的取值范围为$（\frac{{4-\sqrt{7}}}{3}，\frac{{4+\sqrt{7}}}{3}）$．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{（x-2）^2}+{（y-3）^2}=1\end{array}\right.$，得（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0．
∴${x_1}+{x_2}=\frac{4（1+k）}{{1+{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{7}{{1+{k^2}}}$．$\overline{OM}•\overline{ON}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}$=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=$\frac{4k（1+k）}{{1+{k^2}}}+8$．
∵$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=12$，∴$\frac{4k（1+k）}{{1+{k^2}}}+8=12$，解得k=1，
∴l的方程是y=x+1．故圆心C在l上，
∴|MN|=2．

点评 本题考查了直线与圆的方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．