Question

11．已知函数f（x）=2|x-2|+|x+1|．
（1）求不等式f（x）＜6的解集；
（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．

Answer 1

分析 （1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；
（2）由基本不等式，可以解得m²+n²+p²≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）²=m²+n²+p²+2mn+2mp+2np=9，代入m²+n²+p²≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．

解答 （1）解：①x≥2时，f（x）=2x-4+x+1=3x-3，由f（x）＜6，∴3x-3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，
②-1＜x＜2时，f（x）=4-2x+x+1=5-x，由f（x）＜6，∴5-x＜6，∴x＞-1，即-1＜x＜2，
③x≤-1时，f（x）=4-2x-1-x=3-3x，由f（x）＜6，∴3-3x＜6，∴x＞-1，可知无解，
综上，不等式f（x）＜6的解集为（-1，3）；
（2）证明：∵f（x）=2|x-2|+|x+1|，∴f（2）=3，
∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数
∴（m+n+p）²=m²+n²+p²+2mn+2mp+2np=9，
∵m²+n²≥2mn，m²+p²≥2mp，n²+p²≥2np，
∴m²+n²+p²≥mn+mp+np，
∴（m+n+p）²=m²+n²+p²+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）
又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．
故证毕

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题．