Question

9．已知函数f（log₂x）=x²+2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=a•2^x-4在区间（0，2）内有两个不相等的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令t=log₂x，使用换元法得出f（x）的解析式；
（2）令2^x=m，则关于m的方程m²+（2-a）m+4=0在（1，4）上有两解，根据二次函数的性质列不等式解出a的范围．

解答 解：（1）设t=log₂x，t∈R，则x=2^t，
f（t）=2^2t+2•2^t=4^t+2^t+1．
∴f（x）=4^x+2^x+1．
（2）∵方程f（x）=a•2^x-4在区间（0，2）内有两个不相等的实根，∴4^x+（2-a）2^x+4=0在（0，2）有两个不等实根．
令2^x=m，h（m）=m²+（2-a）m+4，则m∈（1，4）．
∴h（m）=0在（1，4）上有两个不等的实根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（2-a）^{2}-16＞0}\\{1＜\frac{a-2}{2}＜4}\\{7-a＞0}\\{28-4a＞0}\end{array}\right.$，解得6＜a＜7．

点评 本题考查了二次函数根的个数判断，函数解析式的解法，属于中档题．