Question

18．已知函数$f（x）=1+\frac{1}{x}+lnx+\frac{lnx}{x}$．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）求证：当x＞1时，$\frac{f（x）}{e+1}＞\frac{{2{e^{x-1}}}}{{x{e^x}+1}}$．

Answer 1

分析 （1）令f′（x）=0得出x-lnx=0，再判断y=x-lnx的单调性得出最小值得出f′（x）＞0，得出结论；
（2）求出右侧函数h（x）=$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$的最大值，再根据f（x）的单调性比较$\frac{f（x）}{e+1}$与h_max（x）的大小关系即可得出结论．

解答 解：（1）f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$．
令ϕ（x）=x-lnx，则$ϕ'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$．
当x＞1时，ϕ'（x）＞0，ϕ（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
当0＜x＜1时，ϕ'（x）＜0，ϕ（x）在区间（0，1）上单调递减．
∴ϕ（x）在x=1处取得唯一的极小值，即为最小值．即ϕ（x）≥ϕ（1）=1＞0，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（2）由（1）知，当x＞1时，f（x）为增函数，故f（x）＞f（1）=2，
故$\frac{f（x）}{e+1}＞\frac{2}{e+1}$．
令$h（x）=\frac{{2{e^{x-1}}}}{{x{e^x}+1}}$，则$h'（x）=2\frac{{{e^{x-1}}（x{e^x}+1）-（x{e^x}+1）'{e^{x-1}}}}{{{{（x{e^x}+1）}^2}}}=\frac{{2{e^{x-1}}（1-{e^x}）}}{{{{（x{e^x}+1）}^2}}}$，
∵x＞1，∴1-e^x＜0．∴h'（x）＜0，即h（x）在区间（1，+∞）上是减函数．
∴x＞1时，$h（x）＜h（1）=\frac{2}{e+1}$．
∴$\frac{f（x）}{e+1}＞\frac{2}{e+1}＞h（x）$，即$\frac{f（x）}{e+1}＞\frac{{2{e^{x-1}}}}{{x{e^x}+1}}$．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．