Question

20．如图，在△ABC中，已知∠BAC=$\frac{π}{3}$，AB=2，AC=3，$\overrightarrow{DC}$=2$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AE}$=3$\overrightarrow{ED}$，则|$\overrightarrow{BE}$|=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{13}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{10}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{5}$

Answer 1

分析 解法一：由条件利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义求得$\overrightarrow{BD}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AE}$，可得$\overrightarrow{BE}$，再利用两个向量数量积的定义，求得|$\overrightarrow{BE}$|的值．
解法二：延长BE交AC于点F，作DG∥BF，交AC于点G，设AF=3m，EF=3n，由三角形相似求得m、n的值，可得BE=$\frac{BF}{2}$的值．

解答 解：在△ABC中，已知∠BAC=$\frac{π}{3}$，AB=2，AC=3，$\overrightarrow{DC}$=2$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AE}$=3$\overrightarrow{ED}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}}{3}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{2\overrightarrow{AB}}{3}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{3}$，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{3}{4}$•（$\frac{2\overrightarrow{AB}}{3}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{3}$）=$\frac{2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{4}$，
∴$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{4}$-$\overrightarrow{AB}$=$\frac{\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}}{4}$，
故 ${\overrightarrow{BE}}^{2}$=$\frac{1}{16}$（${\overrightarrow{AC}}^{2}$+4${\overrightarrow{AB}}^{2}$-4$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$ ）=$\frac{1}{16}$（9+16-4•2•3•cos$\frac{π}{3}$）=$\frac{13}{16}$，
∴|$\overrightarrow{BE}$|=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
故选：B．
解法二：如图：在△ABC中，已知∠BAC=$\frac{π}{3}$，AB=2，AC=3，$\overrightarrow{DC}$=2$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AE}$=3$\overrightarrow{ED}$，
延长BE交AC于点F，作DG∥BF，交AC于点G，设AF=3m，EF=3n，
由△AEF∽△ADG，可得$\frac{EF}{DG}$=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AF}{AG}$，即$\frac{3n}{DG}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{3m}{AG}$，
∴DG=4n，AG=4m，∴FG=m．
由△CDG∽△CBF可得$\frac{DG}{BF}=\frac{CD}{CB}$=$\frac{CG}{CF}$，即$\frac{4n}{BF}$=$\frac{2}{3}$=$\frac{CG}{3-3m}$，
∴BF=6n，CG=2-2m，∴BE=BF-EF=3n，根据AC=AF+FG+GC=3m+m+2-2m=3，∴m=$\frac{1}{2}$．
即F为AC的中点，AF=$\frac{3}{2}$，E为BF的中点．
△ABF中，有余弦定理可得BF²=（6n）²=AB²+AF²-2AB•AF•cos∠BAC=4+${（\frac{3}{2}）}^{2}$-2•2•$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{2}$，
∴9n²=$\frac{13}{16}$，∴BE=$\sqrt{{9n}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求向量的模的方法，两个向量数量积的定义；三角形相似，余弦定理，属于中档题．