Question

某市现有自市中心O通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决交通拥挤问题，市政府决定修一条环城路，分别在通往正西和东北方向的公路上选取A、B两点，使环城公路在A、B间为线段，要求AB环城路段与中心O的距离为10 km，且使A、B间的距离|AB|最小，请你确定A、B两点的最佳位置（不要求作近似计算）

Answer 1

分析：先以O为原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为y轴的正半轴，建立直角坐标系．设A（-a，0）、B（b，b），则可得直线AB的方程，再根据点到直线的距离公式可得a²b²=100（a²+2b²+2ab），进而求得ab的范围，再根据两点间的距离求得|AB|=

ab

10

，进而可得|AB|的范围及最小值．当|AB|取最小值时可求得a，b的值，进而求出|OA|和|OB|，确定A，B的位置．

解答：解：以O为原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为y轴的正半轴，建立如下图所示的坐标系．
设A（-a，0）、B（b，b）（其中a＞0，b＞0），
则AB的方程为y=

b

a+b

•x+

ab

a+b

，
即bx-（a+b）y+ab=0．
∴a²b²=100（a²+2b²+2ab）≥100（2

a2•2b2

+2ab）
=200（1+

2

）ab．
∵ab＞0，
∴ab≥200（

2

+1）．
当且仅当“a²=2b²”时等号成立，
而|AB|=

(b+a)2+b2

=

ab

10

，
∴|AB|≥20（

2

+1）．
当a²=2b²，
ab=10

2b2+a2+2ab

，
时，|AB|取最小值，
即a=10

2(2+ 2 )

，
b=10

2+ 2

此时|OA|=a=10

2(2+ 2 )

，
|OB|=10

2(2+ 2 )

，
∴A、B两点的最佳位置是离市中心O均为10

2(2+ 2 )

km处．

点评：本题主要考查了平面几何的性质在实际中的应用．要熟练掌握点与直线、直线与直线、直线与曲线的关系．