Question

【题目】已知各项不为零的数列的前项和为，且， ， ．

（1）若成等比数列，求实数的值；

（2）若成等差数列，

①求数列的通项公式；

②在与间插入个正数，共同组成公比为的等比数列，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（1）依据题设条件建立方程，通过解方程组进行分析求解；（2）先依据题设条件运用等差数列的定义建立方程求出参数，再借助数列的前项和与通项之间的关系求出数列的通项公式；（3）依据题设条件运用两边取对数的方法将问题进行等价转化，然后将参数进行分离，构造函数运用函数思想及导数知识分析求解：

解：（1）当时， ， ，当时， ， ，

由得，即，解得： 。

（2）由得，故， ，所以，

当时， ，

因为，所以

故数列的所有奇数项组成以为首项为公差的等差数列，

其通项公式，

同理，数列的所有偶数项组成以为首项为公差的等差数列，

其通项公式是

所以数列的通项公式是

（3），在与间插入个正数，组成公比为的等比数列，故有，

即，

所以，即，两边取对数得，

分离参数得恒成立

令， ，则， ，

令， ，则，

下证， ，

令， 则，所以，

即，用替代可得， ，

所以，所以在上递减，

所以