【题目】已知各项不为零的数列的前项和为,且, , .
(1)若成等比数列,求实数的值;
(2)若成等差数列,
①求数列的通项公式;
②在与间插入个正数,共同组成公比为的等比数列,若不等式对任意的恒成立,求实数的最大值.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】试题分析:(1)依据题设条件建立方程,通过解方程组进行分析求解;(2)先依据题设条件运用等差数列的定义建立方程求出参数,再借助数列的前项和与通项之间的关系求出数列的通项公式;(3)依据题设条件运用两边取对数的方法将问题进行等价转化,然后将参数进行分离,构造函数运用函数思想及导数知识分析求解:
解:(1)当时, , ,当时, , ,
由得,即,解得: 。
(2)由得,故, ,所以,
当时, ,
因为,所以
故数列的所有奇数项组成以
其通项公式,
同理,数列的所有偶数项组成以为首项为公差的等差数列,
其通项公式是
所以数列的通项公式是
(3),在与间插入个正数,组成公比为的等比数列,故有,
即,
所以,即,两边取对数得,
分离参数得恒成立
令, ,则, ,
令, ,则,
下证, ,
令, 则,所以,
即,用替代可得, ,
所以,所以在上递减,
所以
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【题目】已知Sn为数列{an}的前n项和,且an>0,an2+an=2Sn .
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn= ,记Tn=b12b32…b2n﹣12 , 求证:Tn≥ .
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【题目】如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AC= DC.
(Ⅰ)若∠DAC=30°,求角B的大小;
(Ⅱ)若BD=2DC,且AD= ,求DC的长.
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【题目】如图所示,函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=﹣ x2+ x+1上,则f(x)=( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】本市某玩具生产公司根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每天生产, , 三种玩具共100个,且种玩具至少生产20个,每天生产时间不超过10小时,已知生产这些玩具每个所需工时(分钟)和所获利润如表:
玩具名称 | |||
工时(分钟) | 5 | 7 | 4 |
利润(元) | 5 | 6 | 3 |
(Ⅰ)用每天生产种玩具个数与种玩具表示每天的利润(元);
(Ⅱ)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?
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【题目】已知椭圆C1: 的离心率为 ,焦距为 ,抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点F是椭圆C1的顶点. (Ⅰ)求C1与C2的标准方程;
(Ⅱ)C1上不同于F的两点P,Q满足 ,且直线PQ与C2相切,求△FPQ的面积.
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【题目】两个非零向量 、 不共线.
(1)若 = + , =2 +8 , =3( ﹣ ),求证:A、B、D三点共线;
(2)求实数k使k + 与2 +k 共线.
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【题目】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,约成书于四、五世纪,也就是大约一千五百年前,传本的《孙子算经》共三卷,卷中有一问题:“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,问积几何?”该著作中提出了一种解决问题的方法:“重置二位,左位减八,余加右位,至尽虚加一,即得.”通过对该题的研究发现,若一束方物外周一匝的枚数是8的整数倍时,均可采用此方法求解,如图,是解决这类问题的程序框图,若输入,则输出的结果为( )
A. 120 B. 121 C. 112 D. 113
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