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(2007•天津一模)如图,直三棱柱A1B1C1-ABC中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB.D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.
(1)求点B到平面A1C1CA的距离;
(2)求二面角B-A1D-A的大小;
(3)在线段AC上是否存在一点F,使得EF⊥平面A1BD?若存在,确定其位置并证明结论;若不存在,说明理由.
分析:(1)由直棱柱的定义结合线面垂直的性质与判定,证出BC⊥平面A1C1CA,从而BC长即为B点到平面A1C1CA的距离,结合题意得到点B到平面A1C1CA的距离为2;
(2)分别以AB、CA、CC1为x、y、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,可得C、B、A、C1、B1、A1、D和E点的坐标,从而得到
BD
BA1
的坐标,利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组解出
n
=(1,-1,2)是平面A1BD的一个法向量,结合
m
=(1,0,0)是平面ACC1A1的一个法向量,利用空间向量的夹角公式即可算出二面角B-A1D-A的大小;
(3)设F(0,y,0)使得EF⊥平面A1BD,利用(2)的结论得此时
n
FE
,算出
EF
=(1,-y,2)
并利用向量平行的条件解出y=1,从而得到存在线段AC的中点F,使得EF⊥平面A1BD.
解答:解:(1)∵A1B1C1-ABC为直三棱住,
∴CC1⊥底面ABC,结合BC?底面ABC,可得CC1⊥BC
∵AC⊥CB,AC、CC1是平面A1C1CA内的相交直线
∴BC⊥平面A1C1CA…(2分)
可得BC长即为B点到平面A1C1CA的距离
结合BC=2可得点B到平面A1C1CA的距离为2…(4分)
(2)∵A1B1C1-ABC为直三棱住,C1C=CB=CA=2,
AC⊥CB,D、E分别为C1C、B1C1的中点
∴分别以AB、CA、CC1为x、y、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
得C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),C1(0,0,2),
B1(2,0,2),A1(0,2,2),D(0,0,1),E(1,0,2)…(6分)
BD
=
 (-2,0,1),
BA1
=(-2,2,2)

设平面A1BD的法向量为
n
=(1,λ,μ)
可得
n•
BD
=0
n•
BA1
=0
,即
-2+μ=0
-2+2λ+2μ=0
,解之得λ=-1、μ=2
n
=(1,-1,2)…(8分)
又∵
m
=(1,0,0)是平面ACC1A1的一个法向量,
∴由cos<
m
n
>=
1
6
=
6
6
,可得二面角B-A1D-A的大小为arccos
6
6
…(10分)
(3)在线段AC上存在一点F,设F(0,y,0)使得EF⊥平面A1BD…(11分)
根据(2)的结论可知,当且仅当
n
FE
时EF⊥平面A1BD,…(12分)
EF
=(1,-y,2)
,可得y=1…(13分)
∴存在唯一的一个点F(0,1,0),即AC中点满足条件
综上所述,存在线段AC的中点F,使得EF⊥平面A1BD…(14分)
点评:本题在三棱柱中求点到平面的距离、证明线面垂直并求二面角的大小.着重考查了直棱柱的性质、利用空间向量的方法探索线面垂直和求面面角等知识,属于中档题.
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