Question

4．已知函数f（x）的定义域为R，f（-2）=2021，对任意x∈（-∞，+∞），都有f'（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x²+2017的解集为（　　）

• A． （-2，+∞）
• B． （-2，2）
• C． （-∞，-2）
• D． （-∞，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=f（x）-x²-2017，利用对任意x∈R，都有f′（x）＜2x成立，即可得出函数g（x）在R上单调性，进而即可解出不等式．

解答 解：令g（x）=f（x）-x²-2017，则g′（x）=f′（x）-2x＜0，
∴函数g（x）在R上单调递减，
而f（-2）=2021，
∴g（-2）=f（-2）-（-2）²-2017=0，
∴不等式f（x）＞x²+2017，可化为g（x）＞g（-2），
∴x＜-2，
即不等式f（x）＞x²+2017的解集为（-∞，-2），
故选：C．

点评 本题主要考查了导数的应用，恰当构造函数和熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．