Question

13．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF${\;}_{=}^{∥}$2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC
（Ⅰ）若EG∥平面ABC，求$\frac{BG}{BF}$的值；
（Ⅱ）是否在线段BF上存在点G满足BF⊥平面AEG？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由线面平行的性质定理可得过EG的平面与平面ABC交于CD，D在AB上，连接GD，CD，可得EG∥CD，根据线面平行的判定定理和性质定理，证明CE∥GD，可得四边形GDCE是平行四边形，进而得到G为BF的中点；
（Ⅱ）根据面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，建立空间直角坐标系，求出F，B，C，E的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{AE}$，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）EG∥平面ABC，
过EG的平面与平面ABC交于CD，D在AB上，
连接GD，CD，
由线面平行的性质定理可得EG∥CD，
又因为AF∥CE，AF=2CE，
CE?平面ABF，AF?平面ABF，
CE∥平面ABF，CE?平面CEGD，
可得CE∥GD，
则四边形GDCE是平行四边形，
即有AF∥GD，AF=2GD，
即G为BF的中点，
则$\frac{BG}{BF}$=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）因为平面ABC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC，
且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC，
所以AF⊥AB，AF⊥BC，
因为BC⊥AB，所以BC⊥平面ABF．
如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz．
设AB=AF=BC=2，
则F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），
因为$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{AE}$=（-2，0，2）•（2，2，1）=-2×2+2=0×2+2×1=-2≠0，
所以BF与AE不垂直，
所以不存在点G满足BF⊥平面AEG．

点评 本题主要考查线面平行的判定和性质定理的运用，以及中位线定理的运用，线面垂直的存在性问题，建立空间直角坐标系，利用向量法是解决本题的关键．