Question

5．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=30°，E为CD的中点．若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}=1$，则AB的长为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BE}$，利用数量积运算公式列出方程即可求出AB．

解答 解：∵ABCD是平行四边形，E为CD的中点，
∴$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$）
=${\overrightarrow{AD}}^{2}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=1．
又${\overrightarrow{AD}}^{2}=1$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=1×AB×cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，${\overrightarrow{AB}}^{2}$=AB²，
∴1-$\frac{1}{2}$AB²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB=1，解得AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或AB=0（舍）．
故选C．

点评 本题考查了向量的线性运算，数量积运算，属于基础题．