Question

3．有一双曲线方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1，{F_1}，{F_2}$是其两个焦点，点M在双曲线上．
（1）若∠F₁MF₂=90°，求△F₁MF₂的面积；
（2）若∠F₁MF₂=60°时，△F₁MF₂的面积是多少？若∠F₁MF₂=120°时，△F₁MF₂的面积又是多少？

Answer 1

分析 （1）利用双曲线的定义，可求得||MF₁|-|MF₂||=2a，|F₁F₂|=2c，先由余弦定理求得|MF₁|•|MF₂|=2×$\frac{{b}^{2}}{1-cosθ}$，即有△F₁MF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|MF₁|•|MF₂|sin∠F₁MF₂=$\frac{{b}^{2}sinθ}{1-cosθ}={b}^{2}cot\frac{θ}{2}$．

解答 解：由双曲线的定义可知||MF₁|-|MF₂||=2a，|F₁F₂|=2c，设∠F₁MF₂=θ，
在△F₁AF₂中，由余弦定理可得：
|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|cosθ=（|MF₁|-|MF₂|）²+2|MF₁|•|MF₂|（1-cosθ），
 可得4c²=4a²+2|MF₁|•|MF₂|（1-cosθ）⇒|MF₁|•|MF₂|=2×$\frac{{b}^{2}}{1-cosθ}$，
即有△F₁MF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|MF₁|•|MF₂|sin∠F₁MF₂=$\frac{{b}^{2}sinθ}{1-cosθ}={b}^{2}cot\frac{θ}{2}$．
（1）若∠F₁MF₂=90°，∵b²=9，θ=90⁰∴△F₁MF₂的面积S=9×cot45°=9．
（2）若∠F₁MF₂=60°时，△F₁MF₂的面积S=9×cot30°=9$\sqrt{3}$，
若∠F₁MF₂=120°时，△F₁MF₂的面积S=9×cot60°=3$\sqrt{3}$，

点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．