Question

1．如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB=1，AC=$\sqrt{3}$，BC=BB₁=2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求二面角A-C₁D-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AB⊥AC，AA₁⊥AC，由此能证明AC⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）过点C作CP⊥C₁D于P，连接AP，则AC⊥平面DCC₁D₁，从而∠CPA是二面角A-C₁D-C的平面角，由此能求出二面角A-C₁D-C的平面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵在底面ABCD中，AB=1，AC=$\sqrt{3}$，BC=2，
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
∵侧棱AA₁⊥底面ABCD，∴AA₁⊥AC，
又∵AA₁∩AB=A，AA₁，AB?平面ABB₁A₁，
∴AC⊥平面ABB₁A₁．
解：（Ⅱ）过点C作CP⊥C₁D于P，连接AP，
由（Ⅰ）可知，AC⊥平面DCC₁D₁，
∠CPA是二面角A-C₁D-C的平面角，
∵CC₁=BB₁=2，CD=AB=1，∴CP=$\frac{DC×C{C}_{1}}{D{C}_{1}}$=$\frac{1×2}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴tan$∠CPA=\frac{AC}{CP}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，∴cos$∠CPA=\frac{2\sqrt{19}}{19}$，
∴二面角A-C₁D-C的平面角的余弦值为$\frac{2\sqrt{19}}{19}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．