Question

19．若曲线y=$\frac{1}{2e}$x²与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则实数a=1．

Answer 1

分析 求出两个函数的导数然后求出公共点的斜率，利用斜率相等，有公共点解方程即可求出a的值．

解答 解：曲线y=$\frac{1}{2e}$x²的导数为：y′=$\frac{x}{e}$，
在P（s，t）处的斜率为：k=$\frac{s}{e}$．
曲线y=alnx的导数为：y′=$\frac{a}{x}$，
在P（s，t）处的斜率为：k=$\frac{a}{s}$．
曲线y=$\frac{1}{2e}$x²与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，
可得$\frac{s}{e}$=$\frac{a}{s}$，并且t=$\frac{1}{2e}$s²，t=alns，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{s}{e}=\frac{a}{s}}\\{\frac{1}{2e}{s}^{2}=alns}\end{array}\right.$，解得lns=$\frac{1}{2}$，解得s²=e．
可得a=1．
故答案为：1．

点评 本题考查函数的导数，导数的几何意义，切线的斜率以及方程思想的运用，考查计算能力，属于中档题．