Question

4．如图所示，椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左，右顶点分别为A，A′，线段CD是垂直于椭圆长轴的弦，连接AC，DA′相交于点P，则点P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 设C（x₀，y₀），D（x₀，-y₀），求出直线AC和直线A′D的方程，将两式相乘，再利用C点坐标的关系化简得出轨迹方程．

解答 解：A（-3，0），A′（3，0），设C（x₀，y₀），D（x₀，-y₀），
∴直线AC的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$（x+3），直线A′D的方程为y=-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$（x-3），
两式相乘得到y²=$\frac{-{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-9}$（x²-9），①，
∵C（x₀，y₀）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，
∴y₀²=4（1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}$），
∴P点轨迹方程为y²=$\frac{4}{9}$（x²-9），即$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，属于中档题．