Question

10．已知{a_n}是等差数列，其中a₁=13，a₄=7．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求{a_n}前n项和为S_n，并求出S_n的最大值及对应项；
（3）求数列{|a_n|}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）求出{a_n}是等差数列的公差，然后求解通项公式．
（2）化简数列的前n项和，通过二次函数的最值求解即可．
（3）利用绝对值求解数列的和即可．

解答 解：（1）{a_n}是等差数列，其中a₁=13，a₄=7．
可得3d=a₄-a₁=7-13=-6，∴d=-2．
∴a_n=13-2（n-1）=15-2n．
（2）S_n=13n+$\frac{n（n-1）}{2}$•（-2）=-n²+14n=-（n-7）²+49．
∴当n=7时，S_n取最大值S₇=49．
（3）当n≤7时，a_n＞0，T_n=13n+$\frac{n（n-1）}{2}×（-2）$=12n+n²，
T₇=13+11+9+7+5+3+1=53．
当n＞7，a_n＜0，
T_n=|a₁|+|a₃|+|a₅|+…+|a_n|=2T₇-（a₁+a₃+a₅+…+a_n）=108-12n-n²．
T_n=$\left\{\begin{array}{l}{12n+{n}^{2}，n≤7，n∈{N}^{•}}\\{108-12n-{n}^{2}，n＞7，n∈{N}^{•}}\end{array}\right.$

点评 本题考查数列的求和，等差数列通项公式的应用，考查数列与函数的综合应用，考查计算能力．