Question

11．已知$f（x）=\frac{kx+b}{e^x}$．
（1）若f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1，求k与b的值；
（2）求$\int_0^1{\frac{x-1}{e^x}}{d_x}$．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义可得f（0）=1，f′（0）=1，列方程组解出即可；
（2）结合（1）中的导数可求得y=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$的原函数，利用微积分基本定理计算定积分．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{k{e}^{x}-（kx+b）{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{k-kx-b}{{e}^{x}}$．
∵f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=1}\\{f′（0）=1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k-b=1}\end{array}\right.$，
解得k=2，b=1．
（2）令$\frac{k-kx-b}{{e}^{x}}$=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$得$\left\{\begin{array}{l}{-k=1}\\{k-b=-1}\end{array}\right.$，
解得k=-1，b=0，
∴（$\frac{-x}{{e}^{x}}$）′=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，
∴$\int_0^1{\frac{x-1}{e^x}}{d_x}$=$\frac{-x}{{e}^{x}}$${|}_{0}^{1}$=-$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查了导数的几何意义，微积分基本定理，属于中档题．