Question

16．用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}π}{8}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}π}{7}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}π}{8}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}π}{7}$

Answer 1

分析 设圆柱的高为x，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为y=2$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{x}{2}）^{2}}$，利用导数性质求出当x=$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$时，此圆柱体积最大．由此能求出圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比．

解答 解：设圆柱的高为x，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为y=2$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{x}{2}）^{2}}$，
∴圆柱的体积V（X）=πy²x=$π×4[{R}^{2}-（\frac{x}{2}）^{2}]x$=π（-x³+4R²x），（0＜x＜2R），
∴V′（x）=π（-3x²+4R²），
列表如下：

x	（0，$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$）	$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$	（$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$，2R）
V′（x）	+	0	-

∴当x=$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$时，此圆柱体积最大．
∴圆柱体体积最大时，该圆内接矩形的两条边长分别为$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$和2$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{\sqrt{3}R}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}R}{3}$，
∴圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为：
$\frac{π{R}^{2}}{\frac{2\sqrt{3}R}{3}•\frac{2\sqrt{6}R}{3}}$=$\frac{3\sqrt{2}π}{8}$．
故选：C．

点评 本题考查圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理应用．