Question

8．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，g（x）=ax+b．
（1）若a=2，F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$图象的切线，求a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出F（x）的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）设切点（m，lnm-$\frac{1}{m}$），求出f（x）的导数，由题意可得a=$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$，lnm-$\frac{1}{m}$=ma+b，即可得到a+b=lnm-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$-1，令$\frac{1}{m}$=t＞0换元，可得a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，利用导数求其最小值即可得到a+b的最小值．

解答 解：（1）a=2时，F（x）=f（x）-g（x）=lnx-$\frac{1}{x}$-2x-b，
F′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2，（x＞0），
F′（x）=$\frac{（1-x）（1+2x）}{x}$，
令F′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令F′（x）＜0，解得：x＞1，
故F（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
（2）：设切点（m，lnm-$\frac{1}{m}$），函数f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
即有切线的斜率为$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$，
若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$图象的切线，
则a=$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$，lnm-$\frac{1}{m}$=ma+b，
即有b=lnm-$\frac{2}{m}$-1，
a+b=lnm-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$-1，
令$\frac{1}{m}$=t＞0，则a+b=-lnt-t+t²-1，
令a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，
则φ′（t）=-$\frac{1}{t}$+2t-1=$\frac{（2t+1）（t-1）}{t}$，
当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；
当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增．
即有t=1时，φ（t）取得极小值，也为最小值．
则a+b=φ（t）≥φ（1）=-1，
故a+b的最小值为-1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和求极值、最值，主要考查构造函数，通过导数判断单调区间求得极值也为最值，属于中档题．