Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2，n∈N^*时，a_n=3a_n-1-1，数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n=2n²+2n-2，n∈N^*．（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=（a_n-

1

2

）•b_n（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用构造法能求出{an-

1

2

}是首项为

1

2

，公比为3的等比数列，由此能求出{a_n}的通项公式．利用bn=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由c_n=（an-

1

2

）•b_n=

1，n=1 2n•3n-1，n≥2，n∈N*

，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）数列{a_n}中，
∵a₁=1，当n≥2，n∈N^*时，a_n=3a_n-1-1，
a_n-

1

2

=3（a_n-1-

1

2

），a1-

1

2

=

1

2

，
∴{an-

1

2

}是首项为

1

2

，公比为3的等比数列，
∴an-

1

2

=

1

2

•3n-1，
∴a_n=

3n-1 +1

2

．…（3分）
∵数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n=2n²+2n-2，n∈N^*，
∴b₁=S₁=2，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=（2n²+2n-2）-[2（n-1）²+2（n-1）-2]=4n，
∴b_n=

2，n=1 4n，n≥2，n∈N*

．…（6分）
（Ⅱ）∵a_n=

3n-1 +1

2

，b_n=

2，n=1 4n，n≥2，n∈N*

，
∴c_n=（an-

1

2

）•b_n
=

3n-1

2

•bn=

1，n=1 2n•3n-1，n≥2，n∈N*

，
∴Tn=1+4•3+6•32+8•33+…+2n•3n-1，①
3T_n=3+4•3²+6•3³+8•3⁴+…+2n•3ⁿ，②
①-②，得：-2T_n=-2+12+2（3²+3³+…+3^n-1）-2n•3ⁿ
=10+2×

9(1-3n-2)

1-3

-2n•3ⁿ
=10+3ⁿ-9-2n•3ⁿ
=1+（1-2n）•3ⁿ，
∴T_n=

(2n-1)•3n-1

2

，n∈N^*．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．