Question

已知椭圆E：

x2

100

+

y2

25

=1的上顶点为A，直线y=-4交椭圆E于点B，C（点B在点C的左侧），点P在椭圆E上．
（Ⅰ）求以原点为顶点，椭圆的右焦点为焦点的抛物线的方程；
（Ⅱ）若四边形ABCD为梯形，求点P的坐标；
（Ⅲ）若

BP

=m•

BA

+n•

BC

（m，n为实数），求m+n的最大值及对应的P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）确定椭圆的右焦点，可得抛物线的方程；
（Ⅱ）要使四边形ABCP梯形，当且仅当CP∥AB，则k_AB=k_CP，求出直线CP的方程，与椭圆方程联立，即可求得P的坐标；
（Ⅲ）设P（x，y），根据

BP

=m•

BA

+n•

BC

（m，n为实数），可得x=6m+12n-6，y=9m-4，进而可得m+n，利用三角换元，可求m+n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）设此抛物线的方程为y²=2px…1 分
∵椭圆的右焦点为(5

3

，0)，
∴

p

2

=5

3

，即p=10

3

…（2分）
∴此抛物线的方程为y2=20

3

x…（3分）
（Ⅱ）A（0，5），B（-6，-4），C（6，-4）…（4分）
要使四边形ABCP梯形，当且仅当CP∥AB．
∵kAB=

3

2

，∴直线CP的方程为y+4=

3

2

(x-6)，即y=

3

2

x-13…（5分）
把y=

3

2

x-13代入

x2

100

+

y2

25

=1得：5x²-78x+288=0…（6分）
解得：x=6或

48

5

（由韦达定理求得也可）…（7分）
∴P(

48

5

，

7

5

)…（8分）
（Ⅲ）设P（x，y），易知

BA

=(6，9)，

BC

=(12，0)，

BP

=(x+6，y+4)
∵

BP

=m•

BA

+n•

BC

，
∴x+6=6m+12n，y+4=9m…（9分）
则m=

y+4

9

，n=

3x-2y+10

36

，m+n=

3x+2y+26

36

…（10分）
由P（x，y）在

x2

100

+

y2

25

=1上可设

x=10cosθ y=5sinθ

，（θ为参数，0≤θ＜2π）
∴3x+2y=30cosθ+10sinθ=10

10

cos(θ-α)，…（11分）
其中cosα=

3 10

10

，sinα=

10

10

（α为锐角）
∴(3x+2y)max=10

10

，…（12分）
∴(m+n)max=

10 10 +26

36

=

5 10 +13

18

…（13分）
此时θ=α，即x=3

10

，y=

10

2

即P(3

10

，

10

2

)…（14分）

点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是确定坐标之间的关系，属于中档题．