Question

已知函数f（x）=

sin2x

sinx

+2sinx．
（1）求函数f（x）的定义域和最小正周期；
（2）若f（α）=2，α∈[0，π]，求f（α+

π

12

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由sinx≠0，即可求得f（x）的定义域，利用三角恒等变换可求得f（x）=2

2

sin（

π

4

+x），从而可求其最小正周期；
（2）由f（α）=2，α∈[0，π]，可求得α=

π

2

，于是可求得f（α+

π

12

）的值．

解答： 解：（1）∵sinx≠0解得x≠kπ（k∈Z），
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ（k∈Z）}------------------------（2分）
∵f（x）=

sin2x

sinx

+2sinx=2cosx+2sinx=2

2

sin（

π

4

+x）---（4分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

1

=2π-----------------------------------（6分）
（2）∵f（α）=2，
∴cosα+sinα=1，
∴（cosα+sinα）²=1，即2sinαcosα=0，---------------------（8分）
∵α∈[0，π]，且sinα≠0，
∴α=

π

2

------------------------------------（10分）
∴f（α+

π

12

）=2

2

sin（

π

4

+α+

π

12

）=2

2

sin

5π

6

=

2

------------------------------------（12分）

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的定义域与周期，考查运算求解能力，属于中档题．