Question

下列命题中：
①“若x²+y²≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“若m＞0，则x²+x-m=0有实根”的逆否命题；
③若过定点M（-1，0）且斜率为k的直线与圆x²+4x+y²-5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是0≤k≤

5

；
④已知二面角α-l-β的平面角的大小是60°，P∈α，Q∈β，R是直线l上的任意一点，过点P与Q作直线l的垂线，垂足分别为P₁，Q₁，且|PP₁|=2，|QQ₁|=3，|P₁Q₁|=5，则|PR|+|QR|的最小值为5

2

；
以上命题正确的为

 

（把所有正确的命题序号写在答题卷上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：直线与圆,空间角,简易逻辑

分析：①写出否命题后再判定其真假；
②判定原命题的真假，从而得出它的逆否命题的真假性；
③画出图形，求出直线与圆在第一象限内有交点的k的取值范围即可；
④画出图形，根据图形得出点R在P₁Q₁上时|PR|+|QR|取到最小值，利用函数求出最小值即可．

解答： 解：①“若x²+y²≠0，则x，y不全为零”的否命题是“若x²+y²=0，则x=y=0”，它是真命题；
②当m＞0时，关于x的方程x²+x-m=0的判别式△=1+4m＞0，
∴方程有实根，是正确的命题，
∴它的逆否命题也是正确的；
③如图，圆的方程可化为（x+2）²+y²=9，
∴圆心坐标为（-2，0），半径r=3，
令x=0，则y=±

5

，
设A（0，

5

），又M（-1，0），∴k_MA=

5

，
∵直线过第一象限且过（-1，0）点，∴k＞0，
又直线与圆在第一象限内有交点，
∴k＜

5

，
∴k的取值范围是（0，

5

）；
∴命题③错误；
④如图，
显然，点R在P₁Q₁上时，|PR|+|QR|的值取到最小，
设P₁R=x，则Q₁R=5-x，
∴|PR|+|QR|=y=

x2+22

+

(x-5)2+32

（0≤x≤5），
∴当x=2时，y取得最小值5

2

；
∴命题④正确；
所以，以上正确的命题是①②④；
故答案为：①②④．

点评：本题考查了四种命题、直线与圆以及二面角的知识，是综合性题目．