Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，PA垂直△ABC所在的平面，PC与△ABC所在的平面成30°角，点D在线段PC上，点E在线段BC上．
（Ⅰ）若AD⊥PC，求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）若PD：PC=1：4，EC：BC=1：4，求二面角B-AD-E的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出PA⊥AB，AB⊥PC，由此能够证明PC⊥面ABD，从而得到BD⊥PC．
（Ⅱ）由题意分别以AB，AC，AP为轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AD-E的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
又∵AB∩AC=A，∴AB⊥面PAC，∴AB⊥PC，
∵AD⊥PC，AB∩AD=A，∴PC⊥面ABD，
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）解：由题意分别以AB，AC，AP为轴建立空间直角坐标系，
令AC=2AB=2，则由已知条件得：
A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），
P（0，0，

2

3

），D（0，

1

2

，

3

2

），E（

1

4

，

3

2

，0），
∴

AB

=(1，0，0)，

AD

=(0，

1

2

，

3

2

)，

AE

=(

1

4

，

3

2

，0)，
设平面ABD的一个法向量

n

=(x，y，z)，
则

n

•

AB

=0，

n

•

AD

=0，
∴

x=0 1 2 y+ 3 2 z=0

，
取y=

3

，得z=-1，
∴

n

=(0，

3

，-1)，
设平面ADE的法向量

m

=(x1，y1，z1)，则

m

•

AD

=0，

m

•

AE

=0，
∴

1 2 y2+ 3 2 z2=0 1 4 x2+ 3 2 y2=0

，取x₂=-6

3

，得y₂=

3

，z₂=-1，
∴

m

=（-6

3

，

3

，-1），
∵cos＜

m

，

n

＞=

0×6 3 + 3 × 3 +(-1)×(-1)

2×4 7

=

7

14

，
∴二面角B-AD-E的余弦值为

7

14

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．