Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，

2

2

），右焦点为F₂．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为-

1

2

，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求

F2P

•

F2Q

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，

2

2

），建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，求出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，结合向量的数量积，M(-

1

2

，m)在椭圆的内部，利用换元法，即可求

F2P

•

F2Q

的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，

2

2

），
∴

a2-b2=1 1 a2 + 1 2 b2 =1

，
∴a²=2，b²=1…（2分）
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1…（4分）
（Ⅱ）由题意，当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x=-

1

2

，此时P(-

2

，0)、Q(

2

，0)，
得

F2P

•

F2Q

=（-

2

-1，0）•（

2

-1，0）=1-2=-1．…（5分）
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k（k≠0），M(-

1

2

，m)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由线段AB的中点M的横坐标为-

1

2

，得(x1+x2)+2(y1+y2)•

y1-y2

x1-x2

=0，则-1+4mk=0，
故4mk=1．                   …（6分）
此时，直线PQ斜率为k₁=-4m，PQ的直线方程为y-m=-4m(x+

1

2

)．
即y=-4mx-m．
联立

y=-4mx-m x2 2 +y2=1

消去y，整理得（32m²+1）x²+16m²x+2m²-2=0．
设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）
∴x3+x4=-

16m2

32m2+1

，x3x4=

2m2-2

32m2+1

． …（9分）
于是

F2P

•

F2Q

=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3+m)(4mx4+m)
=(4m2-1)(x3+x4)+(16m2+1)x3x4+m2+1=

(1+16m2)(2m2-2)

32m2+1

+

(4m2-1)(-16m2)

32m2+1

+1+m2
=

19m2-1

32m2+1

．…（11分）
由于M(-

1

2

，m)在椭圆的内部，故0＜m2＜

7

8

令t=32m²+1，1＜t＜29，则

F2P

•

F2Q

=

19

32

-

51

32t

．   …（12分）
又1＜t＜29，所以-1＜

F2P

•

F2Q

＜

125

232

．
综上，

F2P

•

F2Q

的取值范围为(-1，

125

232

)．         …（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．