Question

已知异面直线a，b，过不在a，b上的任意一点，下列三个结论：
①一定可作直线l与a，b都相交；
②一定可作直线l与a，b都垂直；
③一定可作直线l与a，b都平行；
其中所有正确命题的序号是

 

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Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：如图所示，由于a，b是异面直线，可知存在唯一一对平面α∥β，且a?α，b?β．设不在a，b上的任意一点为P．①若点P∈α或P∈β，则不能够作直线l与a，b都相交；
②过点P一定可作直线l⊥α，利用面面平行和线面垂直的性质可得l⊥a，l⊥b．
③利用反证法和平行公理即可得出．

解答： 解：如图所示，∵a，b是异面直线，∴存在唯一一对平面α∥β，且a?α，b?β．
设不在a，b上的任意一点为P．
①若点P∈α或P∈β，则不能够作直线l与a，b都相交，因此①不正确；
②过点P一定可作直线l⊥α，∵α∥β，a?α，b?β，则l⊥a，l⊥b．因此正确．
③假设过点P可作直线l∥a，l∥b，则a∥b，这与已知a，b是异面直线相矛盾．因此假设不成立，即不存在过点P的直线l与a，b都平行．因此③不正确．
综上可知：只有②正确．
故答案为：②．

点评：本题考查了异面直线的意义及其性质、线面面面平行与垂直的性质，属于难题．