Question

3．如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是正方形，则在下列命题中正确的个数为（　　）
①AC⊥BD；
②AC∥截面EFGH；
③AC=BD；
④异面直线HF与BD所成的角为45°．

• A． 0
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 由已知推导出EF∥HG，从而EF∥平面BCD．由EF∥AC，得AC∥平面EFGH．同理可得BD∥平面EFGH，BD∥EH．从而得到AC⊥BD．由BD∥HG，得∠FHG是异面直线HF与BD所成的角，且为45°．从而得到BD≠AC．

解答 解：在四面体ABCD中，∵截面EFGH是正方形，
∴EF∥HG，EF?平面BCD，HG?平面BCD，∴EF∥平面BCD．
∵平面ACB∩平面ACD=AC，∴EH∥AC，∴AC∥平面EFGH．
同理可得BD∥平面EFGH，BD∥EF．
∵EF⊥EH，∴AC⊥BD．
∵BD∥HG，
∴∠FHG是异面直线HF与BD所成的角，且为45°．
由上面可知：BD∥EF，EH∥AC．
∴$\frac{EF}{BD}=\frac{AE}{AD}$，$\frac{EH}{AC}=\frac{DE}{AD}$，
而AE≠DE，EF=EH，∴BD≠AC．
综上可知：①②④都正确，③错误．
故选：C．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．