已知点A是抛物线y2=4x上的点.若在圆C:(x-6)2+y2=$\frac{21}{4}$上总存在点B.使得∠BAC=30°.其中C为圆心.那么点A的横坐标的取值范围为[4-$\sqrt{6}$.4+$\sqrt{6}$]．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

13．已知点A是抛物线y²=4x上的点，若在圆C：（x-6）²+y²=$\frac{21}{4}$上总存在点B，使得∠BAC=30°，其中C为圆心，那么点A的横坐标的取值范围为[4-$\sqrt{6}$，4+$\sqrt{6}$]．

分析先确定从抛物线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，进而求出CA的长度为4，故问题转化为圆：（x-6）²+y²=21与抛物线y²=4x交点的横坐标的取值范围．

解答解：由题意，从抛物线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AB，AB′，则∠BAB′为60°时，CA=$\sqrt{21}$，
故问题转化为圆：（x-6）²+y²=21与抛物线y²=4x交点的横坐标的取值范围．
联立可得x²-8x+15=0，∴x=3或5
∴满足条件的点A横坐标的取值范围是[3，5]．
故答案为：[3，5]．

点评本题考查直线与圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是明确从抛物线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角．

练习册系列答案

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