Question

8．在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C₁上的点M（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）对应的参数φ=$\frac{π}{6}$，射线θ=$\frac{π}{3}$与曲线C₂交于点D（1，$\frac{π}{3}$）．
（1）求曲线C₁，C₂的直角坐标系方程；
（2）若点A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）都在曲线C₁上，求$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）先求出a=2，b=1，由此能求出曲线C₁的直角坐标方程；把点D的极坐标化为直角坐标代入圆C₂的方程为（x-R）²+y²=R²，求得R=1，即可得到曲线C₂的方程．
（2）把A、B两点的极坐标，代入曲线C₁极坐标方程可得$\frac{{{ρ}_{1}}^{2}co{s}^{2}θ}{4}$+${{ρ}_{1}}^{2}si{n}^{2}θ=1$，$\frac{{{ρ}_{2}}^{2}si{n}^{2}θ}{4}$+${{ρ}_{2}}^{2}co{s}^{2}θ=1$，由此能求出$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$的值．

解答 解：（1）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ为参数），曲线C₁上的点M（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）对应的参数φ=$\frac{π}{6}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{acos\frac{π}{6}=\sqrt{3}}\\{bsin\frac{π}{6}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴曲线C₁的直角坐标系方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
设圆C₂的半径R，则圆C₂的方程为：ρ=2Rcosθ（或（x-R）²+y²=R²），
将点D（1，$\frac{π}{3}$）代入得：1=2Rcos$\frac{π}{3}$，∴R=1
∴圆C₂的方程为：ρ=2cosθ（或（x-1）²+y²=1）…（5分）
（2）曲线C₁的极坐标方程为：$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{4}$+ρ²sin²θ=1，
∵点A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）都在曲线C₁上
将点A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）代入得：$\frac{{{ρ}_{1}}^{2}co{s}^{2}θ}{4}$+${{ρ}_{1}}^{2}si{n}^{2}θ=1$，$\frac{{{ρ}_{2}}^{2}si{n}^{2}θ}{4}$+${{ρ}_{2}}^{2}co{s}^{2}θ=1$，
∴$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=（$\frac{co{s}^{2}θ}{4}$+sin²θ）+（$\frac{si{n}^{2}θ}{4}$）+cos²θ=$\frac{5}{4}$．…（10分）

点评 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于中档题．