Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点（0，$\sqrt{3}$）．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：|PA|²+|PB|²为定值．

Answer 1

分析 （1）由于C的焦点在x轴上且半短轴为$\sqrt{3}$，可设椭圆C的方程为 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞b＞0），利用离心率，求出a，代入椭圆的方程可得．
（2）设P（m，0）（-2≤m≤2），由于直线l的斜率，可得直线l的方程．与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用两点间的距离公式即可证明．

解答 （1）解：∵C的焦点在x轴上且半短轴为$\sqrt{3}$，可设椭圆C的方程为 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
∵e=$\frac{1}{2}$，∴可得$\frac{\sqrt{{a}^{2}-3}}{a}=\frac{1}{2}$，
解得a=2，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）证明：P是椭圆C长轴上的一个动点，设P（m，0）（-2≤m≤2），
过P作斜率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的直线l，
∴直线l的方程是y=$\frac{\sqrt{3}}{2}（x-m）$，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{2}（x-m）\\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\end{array}\right.$⇒2x²-2mx+m²-4=0（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁、x₂是方程（*）的两个根，
∴x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{2}$
∴|PA|²+|PB|²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²
=（x₁-m）²+$\frac{3}{4}$（x₁-m）²+（x₂-m）²+$\frac{3}{4}$（x₂-m）²
=$\frac{7}{4}$[（x₁-m）²+（x₂-m）²
=$\frac{7}{4}$[（x₁+x₂）²-2m（x₁+x₂）-2x₁x₂+2m²]=$\frac{7}{4}$[m²-2m²-（m²-4）+2m²]=7（定值）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．