Question

5．若函数f（x）=-2x³+ax²+1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [0，+∞）
• B． [0，3]
• C． （-3，0]
• D． （-3，+∞）

Answer 1

分析 可化为a=2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$，从而令g（x）=2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$，求导g′（x）=2$\frac{（1+x）（{x}^{2}-x+1）}{{x}^{3}}$，从而判断函数的单调性，从而作出其图象，利用数形结合求解．

解答 解：令f（x）=-2x³+ax²+1=0，
易知当x=0时上式不成立；
故a=$\frac{2{x}^{3}-1}{{x}^{2}}$=2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
令g（x）=2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$，则g′（x）=2+$\frac{2}{{x}^{3}}$=2$\frac{（1+x）（{x}^{2}-x+1）}{{x}^{3}}$，
故g（x）在（-∞，-1）上是增函数，
在（-1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
故作g（x）=2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$的图象如下，
，
g（-1）=-2-1=-3，
故结合图象可知，a＞-3时，
方程a=2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$有且只有一个解，
即函数f（x）=-2x³+ax²+1存在唯一的零点，
故选：D．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用．