Question

己知f（x）=Inx-ax²-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，证明函数f（x）只有一个零点；
（Ⅲ）f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0），两点，AB中点为C（x，0），求证：f′（x）＜0．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意可得f（x）=lnx+x²-bx，由f（x）在定义域（0，+∞）上递增，可得≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即对x∈（0，+∞）恒成立，只需   
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，f（x）=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞），
对函数求导，利用导数的知识判断函数f（x）在区间（0，1），（1，+∞）上单调性可知
当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-1+1=0，当x≠1时，f（x）＜f（1）=0即函数f（x）只有一个零点       
（Ⅲ）由已知得  两式相减，得
 
由及2x=x₁+x₂，得
=，结合导数的知识可证明
解答：解：（Ⅰ）依题意：f（x）=lnx+x²-bx
f（x）在（0，+∞）上递增，∴≥0对x∈（0，+∞）恒成立
即对x∈（0，+∞）恒成立，只需   …（2分）
∵x＞0， 当且仅当时取=
∴
∴b的取值范围为      …（4分）
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，f（x）=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞）
∴=…（6分）
∴0＜x＜1时，f′（x）＞0当x＞1时，f′（x）＜0
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-1+1=0
当x≠1时，f（x）＜f（1）=0即
∴函数f（x）只有一个零点       …（8分）
（Ⅲ）由已知得  两式相减，得
 
由及2x=x₁+x₂，得
==

==…（10分）
令∈（0，1）且（0＜t＜1）
∴
∴∅（t）在（0，1）上递减，∴∅（t）＞∅（1）=0
x₁＜x₂，f′（x）＜0（12分）
点评：导数与函数的单调性的结合是导数最为基本的考查，而函数的恒成立问题常转化为利用相关知识求解函数的最值问题，体现了转化思想在解题中的应用，还考查了运用基本知识进行推理论证的能力