Question

己知f（x）=Inx-ax²-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，证明函数f（x）只有一个零点；
（Ⅲ）f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0），两点，AB中点为C（x₀，0），求证：f′（x₀）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意可得f（x）=lnx+x²-bx，由f（x）在定义域（0，+∞）上递增，可得f′(x)=

1

x

+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即b≤

1

x

+2x对x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤(

1

x

+2x)min   
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，f（x）=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞），
对函数求导，利用导数的知识判断函数f（x）在区间（0，1），（1，+∞）上单调性可知
当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-1+1=0，当x≠1时，f（x）＜f（1）=0即函数f（x）只有一个零点       
（Ⅲ）由已知得 

f(x1)=lnx1-a x 2 1 -bx1=0 f(x2)=lnx2-a  x 2 2  -bx2=0

 两式相减，得
ln

x1

x2

=a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2) 
由f′(x)=

1

x

-2ax-b及2x₀=x₁+x₂，得
f′(x0)=

1

x0

-2ax0-b=

1

x1-x2

[

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

- ln

x1

x2

]，结合导数的知识可证明

解答：解：（Ⅰ）依题意：f（x）=lnx+x²-bx
f（x）在（0，+∞）上递增，∴f′(x)=

1

x

+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立
即b≤

1

x

+2x对x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤(

1

x

+2x)min   …（2分）
∵x＞0，

1

x

+2x≥2

2

 当且仅当x=

2

2

时取=
∴b≤2

2

∴b的取值范围为 (-∞，2

2

]     …（4分）
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，f（x）=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞）
∴f′(x)=

1

x

-2x+1=-

(x-1)(2x+1)

x

…（6分）
∴0＜x＜1时，f′（x）＞0当x＞1时，f′（x）＜0
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-1+1=0
当x≠1时，f（x）＜f（1）=0即
∴函数f（x）只有一个零点       …（8分）
（Ⅲ）由已知得 

f(x1)=lnx1-a x 2 1 -bx1=0 f(x2)=lnx2-a  x 2 2  -bx2=0

 两式相减，得
ln

x1

x2

=a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2) 
由f′(x)=

1

x

-2ax-b及2x₀=x₁+x₂，得
f′(x0)=

1

x0

-2ax0-b=

2

x1+x2

-[a(x1+x2)+b]=

2

x1+x2

-

1

x1-x2

ln

x1

x2

=

1

x1-x2

[

2(x1- x2)

x1+x2

-ln

x1

x2

]=

1

x1-x2

[

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

- ln

x1

x2

]…（10分）
令t=

x1

x2

∈（0，1）且∅(t)=

2t-2

t+1

-lnt（0＜t＜1）
∴∅′(t)=-

(t-1)2

t(t+1)2

＜0
∴∅（t）在（0，1）上递减，∴∅（t）＞∅（1）=0
x₁＜x₂，f′（x₀）＜0（12分）

点评：导数与函数的单调性的结合是导数最为基本的考查，而函数的恒成立问题常转化为利用相关知识求解函数的最值问题，体现了转化思想在解题中的应用，还考查了运用基本知识进行推理论证的能力