Question

己知f（x）=Inx﹣ax²﹣bx．
（Ⅰ）若a=﹣1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=﹣1时，证明函数f（x）只有一个零点；
（Ⅲ）f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0），两点，AB中点为C（x₀，0），求证：f'（x₀）＜0．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意：f（x）=lnx+x²﹣bx f（x）在（0，+∞）上递增，
∴ ≥0对x∈（0，+∞）恒成立
即 对x∈（0，+∞）恒成立，
只需    
∵x＞0，  当且仅当 时取=
∴  ∴b的取值范围为       
（Ⅱ）当a=1，b=﹣1时，f（x）=lnx﹣x²+x，其定义域是（0，+∞）
∴ = 
∴0＜x＜1时，f′（x）＞0当x＞1时，f′（x）＜0
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1﹣1+1=0
当x≠1时，f（x）＜f（1）=0
∴函数f（x）只有一个零点       
（Ⅲ）由已知得   两式相减，
得  
由 及2x₀=x₁+x₂，得  = =  = = 
令 ∈（0，1）且 （0＜t＜1）
∴ 
∴在（0，1）上递减，
∴＞=0
x₁＜x₂，f′（x₀）＜0