Question

19．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，PC⊥平面ABCD，且AB=2，PC=$\sqrt{6}$，F是PA的中点．
（Ⅰ）求证：CF⊥平面PDB；
（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC，交BD于点O，连接PO，则PO与CF相交，设交点为E，则AC⊥BD，PC⊥BD，BD⊥CF，PO⊥CF，由此能证明CF⊥平面PDB．
（Ⅱ）过点P作PG，使得 PG=BC，则GP∥AD∥BC，从而二面角AD-P-BC，即二面角C-PG-D，在平行四边形ADGP中，过点P作AD的垂线，垂足为H，则∠HPC即所求二面角的平面角，由此能求出平面ADP与平面BCP所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连接AC，交BD于点O，连接PO，由于PO，CF?平面PAC，
所以PO与CF相交，设交点为E，
∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，又∵CF?平面PAC，∴BD⊥CF，
在△PAC中，∵∠DAB=60°，AB=2，∴AC=2$\sqrt{3}$，OC=$\sqrt{3}$，
CF=PF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，PO=3，
∴cos∠FCP=$\frac{（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\sqrt{6}）^{2}-（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}{2×\frac{3\sqrt{2}}{2}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sin∠OPC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos∠FCP=sin∠OPC，又∵两个角都是锐角，
∴∠FCP+∠OPC=90°，则∠PEC=90°，即PO⊥CF，
∵PO∩BD=E，PO、BD?平面PAC，∴CF⊥平面PDB，
解：（Ⅱ）过点P作PG，使得 PG=BC，则底面ABCD为菱形，∴GP∥AD∥BC，∴二面角AD-P-BC，即二面角C-PG-D
在平行四边形ADGP中，过点P作AD的垂线，垂足为H，则PH⊥PG
又∵PC⊥平面ABCD∴PC⊥BC∴PC⊥PG
∴∠HPC即所求二面角的平面角
∵AD⊥PH，AD⊥PC，∴AD⊥平面HPC，∴AD⊥CH，
又∵∠HDC=60°，DC=2，∴$HC=CD•sin{60°}=2•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$，
在△HPC中，∠PCH=90°，$PC=\sqrt{6}$，$HC=\sqrt{3}$，∴PH=3，
∴$cos∠HPC=\frac{PC}{PH}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，即所求二面角的平面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．