Question

1．已知4（x²+y²）=2xy+z（x，y≠0，z＞0），且当|2x+y|取最大值时，（$\frac{3}{x}$-$\frac{4}{y}$+$\frac{5}{z}$）的最小值为-5．

Answer 1

分析 当|2x+y|取最大值时得到x=2y，代入4（x²+y²）=2xy+z求出z=16y²，将（$\frac{3}{x}$-$\frac{4}{y}$+$\frac{5}{z}$）中的x，z换成y，得到关于y的二次函数，通过配方求出其最小值即可．

解答 解：若|2x+y|取最大值，即（2x+y）²取得最大值，
而（2x+y）²=4x²+4xy+y²=6xy-3y²+z=3y（2x-y）+z，
≤（3y）²+（2x-y）²+z，（z＞0），
∴当且仅当3y=2x-y时取“=”，此时：x=2y，
∴由4（x²+y²）=2xy+z得：z=16y²，
∴$\frac{3}{x}$-$\frac{4}{y}$+$\frac{5}{z}$=$\frac{3}{2y}$-$\frac{4}{y}$+$\frac{5}{1{6y}^{2}}$=5${（\frac{1}{4y}-1）}^{2}$-5≥-5，
故答案为：-5．

点评 本题考查基本不等式，由|2x+y|取最大值得到x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．