Question

9．已知定点A（2，2），B（8，4），x∈R，则$\sqrt{（x-2）^{2}+{2}^{2}}$+$\sqrt{（x-8）^{2}+{4}^{2}}$的最小值为6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设点C（x，0），它是x轴上的点，$\sqrt{（x-2）^{2}+{2}^{2}}$是点A和点C的距离值，$\sqrt{（x-8）^{2}+{4}^{2}}$是点B和点C的距离值，A关于x轴的对称点为A′（2，-2），连A′B，利用三角形任意两边和大于第三边有|AC|+|BC|＞|A′B|=|A′D|+|DB|，即可得出结论．

解答 解：设点C（x，0），它是x轴上的点，$\sqrt{（x-2）^{2}+{2}^{2}}$是点A和点C的距离值，$\sqrt{（x-8）^{2}+{4}^{2}}$是点B和点C的距离值．
A关于x轴的对称点为A′（2，-2），连A′B，得其直线方程为y=x-4，该直线与x轴的交点D坐标为（4，0）．
当D与C不重合时，根据三角形任意两边和大于第三边有|AC|+|BC|＞|A′B|=|A′D|+|DB|．
∵|A′B|=6$\sqrt{2}$，∴|AC|+|BC|≥6$\sqrt{2}$，
∴x=4时，$\sqrt{（x-2）^{2}+{2}^{2}}$+$\sqrt{（x-8）^{2}+{4}^{2}}$有最小值6$\sqrt{2}$．
故答案为：6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查两点间的距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．