Question

19．已知x+y=1（x≥0．y≥0）．求的$\frac{y}{1+x}$+$\frac{x}{1+y}$最大、最小值．

Answer 1

分析 由题意易得y=1-x，代入要求的式子分离常数可得原式=-2+$\frac{6}{-{x}^{2}+x+2}$，由x的范围和二次函数的值域结合不等式的性质可得．

解答 解：∵x+y=1且x≥0，y≥0，
∴y=1-x≥0可得x≤1，∴0≤x≤1，
∴$\frac{y}{1+x}$+$\frac{x}{1+y}$=$\frac{1-x}{1+x}$+$\frac{x}{1+1-x}$=$\frac{1-x}{1+x}$+$\frac{x}{2-x}$
=$\frac{（1-x）（2-x）+x（1+x）}{（1+x）（2-x）}$=$\frac{2{x}^{2}-2x+2}{-{x}^{2}+x+2}$
=$\frac{-2（-{x}^{2}+x+2）+6}{-{x}^{2}+x+2}$=-2+$\frac{6}{-{x}^{2}+x+2}$，
∵0≤x≤1，∴2≤-x²+x+2≤$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{8}{3}$≤$\frac{6}{-{x}^{2}+x+2}$≤3，
∴$\frac{2}{3}$≤-2+$\frac{6}{-{x}^{2}+x+2}$≤1，
∴$\frac{y}{1+x}$+$\frac{x}{1+y}$最大、最小值分别为1，$\frac{2}{3}$

点评 本题考查不等式求最值，涉及分离常数法和不等式的性质，属中档题．