Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的

3

倍，F₁，F₂是它的左，右焦点．
（1）若P∈C，且

PF1

•

PF

2=0，|PF₁|•|PF₂|=4，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过动点Q作以F₂为圆心、以1为半径的圆的切线QM（M是切点），且使QF₁|=

2

|QM|，，求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1） 利用a=

3

b 和|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²，以及|PF₁|+|PF₂|=2a 求出a²和b²的值，解得椭圆C的方程．
（2）由条件可得|QF₁|²=2|QM|²，再由QM是⊙F₂的切线 可得|QM|²=|QF₂|²-1，故有|QF₁|²=2（|QF₂|²-1）．
设Q（x，y），代入上式化简即得动点Q的轨迹方程．

解答：解：（1）依题意知a=

3

b①，
∵

PF1

•

PF2

=0，∴PF₁⊥PF₂，∴|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=4（a²-b²）=8b²，
又P∈C，由椭圆定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a，（|PF₁|+|PF₂|）²=8b²+8=4a²--②，
由①②得a²=6，b²=2．所以椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）由（1）得c=2．∴F₁（-2，0）、F₂（2，0）
由已知|QF1|=

2

|QM|，即|QF₁|²=2|QM|²，
∵QM是⊙F₂的切线，∴|QM|²=|QF₂|²-1，∴|QF₁|²=2（|QF₂|²-1）．
设Q（x，y），则（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]，
即（x-6）²+y²=34（或x²+y²-12x+2=0），
综上所述，所求动点Q的轨迹方程为：（x-6）²+y²=34．

点评：本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，其中，由条件得出|QF₁|²=2（|QF₂|²-1），
是解题的关键，体现了数形结合的数学思想．