Question

（14分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上。  （1）求a₁和a₂的值；  （2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；  （3）设c_n=a_n·b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n。

Answer 1

（1）a₁=2，a₂=4（2）a_n=2ⁿ b_n=2n-1（3）T_n=(2n-3)2ⁿ⁺¹+6   

（1）∵a_n是S_n与2的等差中项∴S_n=2a_n-2              。。。。1
∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁="2              " 。。。。2
a₁+a₂=S₂=2a₂-2，解得a₂="4     " 。。。        。3
（2）∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
又S_n—S_n-1=a_n，                。。。。5
∴a_n=2a_n-2a_n-1，    ∵a_n≠0，∴，。。6
即数列{a_n}是等比数列∵a₁=2，∴a_n=2^{n                                 。。。。7}
∵点P(b_n，b_n+1)在直线x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0，  。。 。8
∴b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}是等差数列，又b₁=1，∴b_n=2n-1，     9分              （3）∵c_n=(2n-1)2ⁿ
∴T_n=a₁b₁+ a₂b₂+····a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+····+(2n-1)2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+····+(2n-3)2ⁿ+(2n-1)2ⁿ⁺¹
因此：-T_n=1×2+(2×2²+2×2³+···+2×2ⁿ)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，
即：-T_n=1×2+(2³+2⁴+····+2ⁿ⁺¹)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，
∴T_n=(2n-3)2ⁿ⁺¹+6                                      ··14分