Question

数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为 ，且，求证:对任意正整数，总有 2；
（Ⅲ）正数数列中，，求数列中的最大项．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）证明略
（Ⅲ）数列中的最大项为

（Ⅰ）解：由已知：对于，总有 ①成立
∴  （n ≥ 2）②
①--②得
∴
∵均为正数，∴  （n ≥ 2）
∴数列是公差为1的等差数列
又n=1时，，解得=1
∴．（）  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………4分（Ⅱ）证明：，当时，

　　　　　　　　 …………8分
（Ⅲ）解：由已知 ，

易得　
猜想 时，是递减数列．
令
∵当
∴在内为单调递减函数．．
由．．
∴ 时, 是递减数列．即是递减数列，
又 , ∴数列中的最大项为．　　　　　。…………12分